Формулы вычисления площади произвольного четырёхугольника

Содержание:

Определения и соглашения
Общие сведения
- Площадь фигуры
- Единицы измерения
Измерить – значит, сравнить
- Эталон длины
Общие сведения
- Площадь фигуры
- Единицы измерения
Тригонометрические тождества
Площадь частных случаев четырехугольников
- Определения
Примеры решения
- Геометрия на плоскости
Теорема Птолемея
Диагонали
Площадь квадрата
Информация о прямоугольнике
- Свойства и признаки
- Периметр и размерность
Неравенства
Заключение

Определения и соглашения

В приведённой ниже таблице будут указаны определения и договорённости, которые будут использоваться в дальнейшем во время наших рассуждений.

Четырёхугольник – это фигура из четырёх точек (вершин), из которых любые три не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон) последовательно их соединяющих.
Диагональ — отрезок, соединяющий вершины многоугольника не лежащие на одной стороне (её обозначение – латинская буква d).
Площадь фигуры — это численное значение территории, заключённой внутри многоугольника (её обозначение – латинская буква S).
Синус угла — это число равное отношению противоположного катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. (её обозначение – запись sin).
Косинус угла — это число равное отношению прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. В дальнейшем в статье для его обозначения будем использовать латинскую запись cos.
Описанная окружность — это окружность, которой принадлежат все вершины многоугольника ( её радиуса обозается буквой R).
Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. В дальнейшем в статье для обозначения её радиуса будем использовать латинскую букву r.
Угол между сторонами a и b будем обозначать следующей записью (a,b).

Общие сведения

Площадь четырехугольника

В различных задачах с физико-математическим уклоном приходится вычислять площадь прямоугольника. Однако формула расчета применяется не только в математике и физике, но и во время ремонтных работ. Например, следует посчитать количество расходных материалов, которое зависит от квадратуры комнаты или здания.

Очень важно не только знать основные соотношения, но и корректно переводить единицы измерения из одной в другую. От знаний полностью зависит экономия денежных средств

Например, при клейке обоев в комнате требуется определенное количество рулонов. Это количество можно купить в строительном магазине «на глаз» или рассчитать квадратуру комнаты. Во втором случае можно существенно сэкономить. Для того чтобы посчитать квадратные метры помещения, нужно вычислить его площадь.

Площадь фигуры

Площадью двумерной фигуры является численная характеристика, которая показывает ее размерность. Она обозначается литерой S и измеряется в квадратных единицах (мм 2 , см 2 , дм 2 и т. д.). Не каждый элемент геометрии имеет площадь. Прямая, луч, отрезок, точка не имеют двумерной размерности. Фигуры, у которых она присутствует, являются квадратируемыми. Если значения их S равны, то они являются равновеликими.

Для вычисления значения двухплоскостной размерности фигуры применяется интегральный метод. Однако бывают частные случаи, когда вычислять интеграл необязательно. Существуют определенные формулы, полученные с помощью интегрального метода. Чтобы ими воспользоваться, нужно просто подставить числовые значения сторон.

Единицы измерения

При решении задач на нахождение значения площади нужно знать единицы ее измерения. Кроме того, следует правильно выполнять перевод одной единицы в другую. В системе исчисления используются квадратичные единицы измерения. За основу следует брать размер стороны прямоугольника. Например, при указании площади в кв. м нужно измерять в метраже стороны объекта. Это стандартная единица измерения площади.

Существуют также производные единицы. Самой маленькой из них является квадратный миллиметр (кв. мм или мм 2 ). В некоторой литературе или программировании можно встретить такую запись: sqr (m), которая означает квадратный метр. Основные производные единицы площади:

1 см 2 = 100 мм 2 .

1 дм 2 = 100 см 2 .

1 м 2 = 100 дм 2 = 10000 см 2 .

1 км 2 = 1000000 м 2 .

1 ар (а) = 1 сотка = 100 м 2 .

1 гектар (га) = 10000 м 2 .

Последние применяются для измерения земельного участка. Однако необязательно их все помнить. Они легко выводятся при помощи простейших математических вычислений. Например, для выполнения расчетов нужно перевести кв. м в кв. см. Однако человек мог забыть, сколько см 2 в квадратном метре. Следует взять метрическую форму (1 м = 100 см). Затем нужно возвести обе части выражения в квадрат: 1 м 2 = 100 * 100 = 10000 (см 2 ).

Измерить – значит, сравнить

Как высчитать квадратные метры комнаты: расчет площади нестандартных помещений

На помощь человеку приходят числа, используя которые можно было сравнить предметы по величине. Так в одном известном мультфильме длину удава измеряли в «попугаях», сравнивая величину удава с длиной попугая.

Длина удава 38 «попугаев». Понятно, что удав в 38 раз длиннее попугая. Но попугаи бывают разными. Если взять другого попугая, тот же удав будет, например, 45 «попугаев». Что делать?

Нужно найти тело, принимаемое за единицу измерения, с которой сравниваются другие тела.

В практической деятельности человеку приходится часто измерять длину, массу и время. В разных странах вводились разные единицы измерения этих величин. Существовали такие единицы, как «лошадиная сила», локоть, бочка. Но ведь и локоть, и бочка могут быть разными, поэтому о точности выполнения работы говорилось приблизительно.

Сравнивать нужно только однородные физические величины. Длину тела нужно сравнивать с длиной другого тела, а массу тела – только с массой другого тела, принятого за единицу измерения. Так массу удава из мультфильма можно было сравнить с массой обезьянки. Удав имеет массу 195 «обезьянок». Что бы это значило?

Выход был найден, когда ввели систему единиц СИ. Чтобы измерить любую величину, нужно сравнить ее с однородной величиной, принятой за единицу. Как же выбирают эти единицы?

Наиболее распространено измерение длины, размеров пройденного пути, расстояния. Все эти величины измеряются в метрах. Один метр получили следующим образом. Взяли одну сорока миллионную часть меридиана, который проходит через столицу Франции – Париж. Длину этой части и приняли за 1 метр. На стержне, изготовленном из иридия и платины, нанесли два деления, расстояние между которыми равно одному метру. Такой сплав меньше всего подвержен температурному влиянию, которое может изменить длину тела. Это стержень и есть эталон длины, с которым сравнивают единицу длины во многих странах мира. Метровые линейки – это многочисленные копии эталона, которыми как раз и можно пользоваться.

Эталон длины

Первый эталон метра был изготовлен из латуни в 1795 г. С 1960 г. используется изготовленный с помощью электронных технологий эталон из сплава иридия и платины.

Существует и эталон массы, равный одному килограмму. Он также изготовлен из сплава иридия и платины.

Эталоны длины и массы хранятся в г. Севр, вблизи Парижа, где располагается Международная палата мер и весов. В 1960 году метр начали сравнивать с величинами, относящимися к разделу «Световые явления». Подробности о свете изучаются в старших классах.

Со светом связана и единица времени – 1 секунда. А до 1960 года (год введения СИ) за основу подсчета времени брали время оборота Земли вокруг Солнца – 1 год, который по календарю состоит из 12 месяцев. Месяцы делятся на сутки – время полного оборота Земли вокруг своей оси, сутки — 24 часа, в каждом из которых 60 минут. А одна шестидесятая часть минуты и есть одна секунда.

Время «хранят» при помощи очень точных часов – устройств, предназначенных для измерения времени. Действие любых часов основано на повторяющихся процессах – колебаниях. Чем меньше период (время одного полного колебания), тем часы более точные.

При изучении быстро протекающих процессов требуется измерять миллиардные и еще более мелкие доли секунды. Для этого служат атомные часы.

Ученик седьмого класса, конечно же, умеет измерять длину и время, массу продуктов определяют продавцы с помощью весов.

По мере изучения физики будет идти знакомство с различными физическими величинами, способами и приборами их измерения. А сейчас надо знать:

чтобы измерить физическую величину, ее надо сравнить с однородной величиной, принятой за единицу;
за основу физических величин берутся эталонные значения, то есть образец сравнения.
для всех величин существуют свои способы, устройства и единицы измерения.

Общие сведения

Калькулятор площади стен

Площадь фигуры

Площадью двумерной фигуры является численная характеристика, которая показывает ее размерность. Она обозначается литерой S и измеряется в квадратных единицах (мм 2, см 2, дм 2и т. д.). Не каждый элемент геометрии имеет площадь. Прямая, луч, отрезок, точка не имеют двумерной размерности. Фигуры, у которых она присутствует, являются квадратируемыми. Если значения их S равны, то они являются равновеликими.

Единицы измерения

Существуют также производные единицы. Самой маленькой из них является квадратный миллиметр (кв. мм или мм 2). В некоторой литературе или программировании можно встретить такую запись: sqr (m), которая означает квадратный метр. Основные производные единицы площади:

1 см 2 = 100 мм 2.
1 дм 2 = 100 см 2.
1 м 2 = 100 дм 2 = 10000 см 2.
1 км 2 = 1000000 м 2.
1 ар (а) = 1 сотка = 100 м 2.
1 гектар (га) = 10000 м 2.

Последние применяются для измерения земельного участка. Однако необязательно их все помнить. Они легко выводятся при помощи простейших математических вычислений. Например, для выполнения расчетов нужно перевести кв. м в кв. см. Однако человек мог забыть, сколько см 2в квадратном метре. Следует взять метрическую форму (1 м = 100 см). Затем нужно возвести обе части выражения в квадрат: 1 м 2 = 100 * 100 = 10000 (см 2).

Тригонометрические тождества

Четыре угла простого четырехугольника ABCD удовлетворяют следующим тождествам:

грех ⁡ А + грех ⁡ B + грех ⁡ C + грех ⁡ D знак равно 4 грех ⁡ А + B 2 грех ⁡ А + C 2 грех ⁡ А + D 2 {\ displaystyle \ sin {A} + \ sin {B} + \ sin {C} + \ sin {D} = 4 \ sin {\ frac {A + B} {2}} \ sin {\ frac {A + C} {2}} \ sin {\ frac {A + D} {2}}}

а также

загар ⁡ А загар ⁡ B — загар ⁡ C загар ⁡ D загар ⁡ А загар ⁡ C — загар ⁡ B загар ⁡ D знак равно загар ⁡ ( А + C ) загар ⁡ ( А + B ) . {\ displaystyle {\ frac {\ tan {A} \ tan {B} — \ tan {C} \ tan {D}} {\ tan {A} \ tan {C} — \ tan {B} \ tan {D }}} = {\ frac {\ tan {(A + C)}} {\ tan {(A + B)}}}.}.}

Также,

загар ⁡ А + загар ⁡ B + загар ⁡ C + загар ⁡ D детская кроватка ⁡ А + детская кроватка ⁡ B + детская кроватка ⁡ C + детская кроватка ⁡ D знак равно загар ⁡ А загар ⁡ B загар ⁡ C загар ⁡ D . {\ displaystyle {\ frac {\ tan {A} + \ tan {B} + \ tan {C} + \ tan {D}} {\ cot {A} + \ cot {B} + \ cot {C} + \ cot {D}}} = \ tan {A} \ tan {B} \ tan {C} \ tan {D}.}

В последних двух формулах ни один угол не может быть прямым , так как tan 90 ° не определен.

Площадь частных случаев четырехугольников

Для вычисления частных случаев четырехугольников можно воспользоваться формулами и калькуляторами, приведенными в других статьях сайта:

Определения

Четырехугольник – это геометрическая плоская фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь четырехугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км 2 , м 2 , см 2 , мм 2 и т.д.

Вписанные четырехугольники и их свойства

Теорема Птолемея

Примеры решения

Задачи на нахождение площади применяются в нескольких дисциплинах. В геометрии применяются различные комбинации, при которых известны некоторые величины:

Две стороны.
Одна из сторон и диагональ.
Диагональ и разность сторон.

Для расчета расходных материалов и площади поперечного сечения проводника можно всегда измерить стороны прямоугольника. Существует два способа нахождения: автоматизированный и ручной. В первом случае используется специализированное программное обеспечение. Однако вовсе не обязательно применять сложные алгоритмы и программные модули, поскольку формула является очень простой. Для расчета специалисты рекомендуют применять онлайн-калькулятор.

При ручном режиме расчета нужно подставлять значения в формулу. После этого выполнять вычисления. Возможна и оптимизация процесса вычисления. Для этой цели рекомендуется использовать Excel. Приложение входит в состав стандартного офисного пакета MS Office.

Геометрия на плоскости

Задача сводится к тому, что необходимо высчитать S, зная размеры сторон (a = 25 и b = 10). В этом случае следует воспользоваться базовой формулой: S = a * b = 25 * 10 = 250 (ед 2 ). В ответе указывается условная единица измерения, поскольку явная не указана в условии задачи.

Еще один вариант задания немного сложнее предыдущего. Он имеет следующее условие: одна из сторон прямоугольника равна 6 м и диагональ 10 м. Нужно найти площадь прямоугольника. Формулой в этом случае является теорема Пифагора. Треугольник, который образуется при проведении диагонали, считается прямоугольный (неравносторонний, а разносторонний). Решается задача следующим образом:

Находится неизвестная сторона: b =(d 2 — a 2 )^(1/2) = (100 — 36)^(1/2) = 8 (м).

Площадь (произведение сторон): S = 6 * 8 = 48 (м 2 ).

Можно использовать двойную формулу Герона, однако метод усложняет вычисления. Для сравнения скорости и объема вычислений следует решить задачу вторым способом:

Значение площади будет вычисляться таким образом: S = 2 * ^(1/2) = 2 * 24 = 48 (м 2 ).

Второй способ считается неправильным, поскольку необходимо во всех задачах оптимизировать вычисления. Сложным типом задачи, кроме интегрирования, считается нахождение площади, когда неизвестны стороны, а известна только диагональ (10). Известно также, что одна из сторон больше другой на 3 метра. В этом случае надо выражать одну сторону через другую. Алгоритм решения следующий:

Обозначить стороны: a = x и b = x — 3.
Составить уравнение: x * (x — 3) = 10.

Раскрыть скобки: x 2 — 3x — 10 = 0.

Нахождение дискриминанта: D = b 2 — 4* a * c = 9 — (4 * 10) 2 ). Однако берется не исходное значение, а приближенное. Его нужно округлять только в большую сторону, т. е. править 3,75 на значение 4. Следует руководствоваться таким правилом: результат округляется в большую сторону.

Источник

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Докажем, что справедливо равенство:

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

откуда вытекает равенство:

(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Источник

➤

Диагонали

Свойства диагоналей некоторых четырехугольников

В следующей таблице указано, пересекают ли диагонали некоторых основных четырехугольников пополам, перпендикулярны ли их диагонали и равны ли их диагонали. Список применяется к наиболее общим случаям и исключает названные подмножества.

Четырехугольник	Деление диагоналей пополам	Перпендикулярные диагонали	Равные диагонали
Трапеция	Нет	См. Примечание 1	Нет
Равнобедренная трапеция	Нет	См. Примечание 1	да
Параллелограмм	да	Нет	Нет
летающий змей	См. Примечание 2	да	См. Примечание 2
Прямоугольник	да	Нет	да
Ромб	да	да	Нет
Квадратный	да	да	да

Примечание 1: самые общие трапеции и равнобедренные трапеции не имеют перпендикулярных диагоналей, но существует бесконечное количество (непохожих) трапеций и равнобедренных трапеций, которые имеют перпендикулярные диагонали и не имеют других названных четырехугольников.

Примечание 2: В кайте одна диагональ делит другую пополам. Самый общий воздушный змей имеет неравные диагонали, но существует бесконечное количество (не похожих) воздушных змеев, в которых диагонали равны по длине (и воздушные змеи не являются никакими другими названными четырехугольниками).

Длины диагоналей

Длины диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD можно вычислить, используя закон косинусов для каждого треугольника, образованного одной диагональю и двумя сторонами четырехугольника. Таким образом

п знак равно а 2 + б 2 — 2 а б потому что ⁡ B знак равно c 2 + d 2 — 2 c d потому что ⁡ D {\ displaystyle p = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos {B}}} = {\ sqrt {c ^ {2} + d ^ {2} -2cd \ cos { D}}}}

а также

q знак равно а 2 + d 2 — 2 а d потому что ⁡ А знак равно б 2 + c 2 — 2 б c потому что ⁡ C . {\ displaystyle q = {\ sqrt {a ^ {2} + d ^ {2} -2ad \ cos {A}}} = {\ sqrt {b ^ {2} + c ^ {2} -2bc \ cos { C}}}.}

Другие, более симметричные формулы для длин диагоналей:

п знак равно ( а c + б d ) ( а d + б c ) — 2 а б c d ( потому что ⁡ B + потому что ⁡ D ) а б + c d {\ displaystyle p = {\ sqrt {\ frac {(ac + bd) (ad + bc) -2abcd (\ cos {B} + \ cos {D})} {ab + cd}}}}

а также

q знак равно ( а б + c d ) ( а c + б d ) — 2 а б c d ( потому что ⁡ А + потому что ⁡ C ) а d + б c . {\ displaystyle q = {\ sqrt {\ frac {(ab + cd) (ac + bd) -2abcd (\ cos {A} + \ cos {C})} {ad + bc}}}.}

Обобщения закона параллелограмма и теоремы Птолемея

В любом выпуклом четырехугольнике ABCD сумма квадратов четырех сторон равна сумме квадратов двух диагоналей плюс четыре квадрата отрезка прямой, соединяющего середины диагоналей. Таким образом

а 2 + б 2 + c 2 + d 2 знак равно п 2 + q 2 + 4 Икс 2 {\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} = p ^ {2} + q ^ {2} + 4x ^ {2}}

где x — расстояние между серединами диагоналей. Это иногда называют теоремой Эйлера о четырехугольнике и является обобщением закона параллелограмма .

Немецкий математик Карл Антон Бретшнайдер вывел в 1842 году следующее обобщение теоремы Птолемея , касающееся произведения диагоналей в выпуклом четырехугольнике.

п 2 q 2 знак равно а 2 c 2 + б 2 d 2 — 2 а б c d потому что ⁡ ( А + C ) . {\ displaystyle p ^ {2} q ^ {2} = a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} d ^ {2} -2abcd \ cos {(A + C)}.}

Это соотношение можно рассматривать как закон косинусов для четырехугольника. В круговом четырехугольнике , где A + C = 180 °, он сводится к pq = ac + bd . Поскольку cos ( A + C ) ≥ −1, это также дает доказательство неравенства Птолемея.

Другие метрические отношения

Если X и Y — основания нормалей из B и D к диагонали AC = p в выпуклом четырехугольнике ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , то

Икс Y знак равно | а 2 + c 2 — б 2 — d 2 | 2 п . {\ displaystyle XY = {\ frac {| a ^ {2} + c ^ {2} -b ^ {2} -d ^ {2} |} {2p}}.}

В выпуклом четырехугольнике ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD , d = DA и где диагонали пересекаются в точке E ,

е ж грамм час ( а + c + б + d ) ( а + c — б — d ) знак равно ( а грамм час + c е ж + б е час + d ж грамм ) ( а грамм час + c е ж — б е час — d ж грамм ) {\ displaystyle efgh (a + c + b + d) (a + cbd) = (agh + cef + beh + dfg) (agh + cef-beh-dfg)}

где e = AE , f = BE , g = CE и h = DE .

Форма и размер выпуклого четырехугольника полностью определяются длиной его сторон в последовательности и одной диагонали между двумя заданными вершинами. Две диагонали p, q и четыре стороны a, b, c, d четырехугольника связаны определителем следующим образом:

Det а 2 п 2 d 2 1 а 2 б 2 q 2 1 п 2 б 2 c 2 1 d 2 q 2 c 2 1 1 1 1 1 знак равно {\ displaystyle \ det {\ begin {bmatrix} 0 & a ^ {2} & p ^ {2} & d ^ {2} & 1 \\ a ^ {2} & 0 & b ^ {2} & q ^ {2} & 1 \\ p ^ { 2} & b ^ {2} & 0 & c ^ {2} & 1 \\ d ^ {2} & q ^ {2} & c ^ {2} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \ end {bmatrix}} = 0.}

Площадь квадрата

Из известно, что для вычисления площади квадрата достаточно умножить его сторону саму на себя. Докажем это строго, используя лишь свойства площадей.

Попробуем вычислить площадь квадрата, если известна его сторона. Если она равна 2, то квадрат можно разбить на четыре единичных квадрата, а если она равна 3, то квадрат можно разделить уже на девять единичных квадратов:

Тогда площадь квадрата со стороной 2 равна 4, а со стороной 3 уже равна 9. В общем случае квадрат со стороной n (где n– ) можно разбить n2 единичных квадратов, поэтому его площадь будет равна n2.

Но что делать в случае, если сторона квадрата – это не целое, а дробное число? Пусть оно равно некоторой дроби 1/m, например, 1/2 или 1/3. Тогда поступим наоборот – разделим сам единичный квадрат на несколько частей. Получится почти такая же картина:

В общем случае единичный квадрат можно разбить на m2 квадратов со стороной 1/m. Тогда площадь каждого из таких квадратов (обозначим ее как S)может быть найдена из уравнения:

Снова получили, что площадь квадрата в точности равна его стороне, возведенной во вторую степень.

Наконец, рассмотрим случай, когда сторона квадрата равна произвольной дроби, например, 5/3. Возьмем квадраты со стороной 1/3 и построим из них квадрат, поставив 5 квадратов в ряд. Тогда его сторона как раз будет равна 5/3:

Площадь каждого маленького квадратика будет равна 1/9, а всего таких квадратиков 5х5 = 25. Тогда площадь большого квадрата может быть найдена так:

В общем случае, когда дробь имеет вид n/m, где m и n– натуральные числа, площадь квадрата будет равна величине

Получили, что если сторона квадрата – произвольное рациональное число, то его площадь в точности равна квадрату этой стороны. Конечно, возможна ситуация, когда сторона квадрата – это . Тогда осуществить подобное построение не получится. Здесь помогут значительно более сложные рассуждения, основанные на методе «от противного».

Предположим, что есть некоторое иррациональное число I, такое, что площадь квадрата (S) со стороной I НЕ равна величине I2. Для определенности будем считать, что I2<S (случай, когда I2>S, рассматривается абсолютно аналогично). Однако тогда, извлекая корень из обеих частей неравенства, можно записать, что

Далее построим два квадрата, стороны которых имеют длины I и R, и совместим их друг с другом:

Так как мы выбрали число R так, чтобы оно было больше I, то квадрат со стороной I является лишь частью квадрата со стороной R.Но часть меньше целого, значит, площадь квадрата со стороной I (а она равна S) должна быть меньше, чем площадь квадрата со стороной R (она равна R2):

из которого следует противоположный вывод – величина R2 меньше, чем S. Полученное противоречие показывает, что исходная утверждение, согласно которому площадь квадрата со стороной I НЕ равна I2, является ошибочным. А значит, площадь квадрата всегда равна его стороне, умноженной на саму себя.

Задание. Найдите площадь квадрата, если его сторона равна

Задание. Площадь квадрата равна 25. Найдите длину его стороны.

Решение. Пусть сторона квадрата обозначается буквой х (как неизвестная величина). Тогда условие, согласно которому его площадь равна 25, можно переписать в виде уравнения:

Его , для его решения надо просто извлечь квадратный корень из правой части:

Примечание. Строго говоря, записанное уравнение имеет ещё один корень – это число (– 5). Однако его можно отбросить, так как длина отрезка не может быть отрицательным числом. В более сложных геометрических задачах отрицательные корни также отбрасывают.

Задание. Численно площадь квадрата равна периметру квадрата (с учетом того, что площадь измеряется в см2, а периметр – в см). Вычислите его площадь.

Решение. Снова обозначим сторону квадрата как х, тогда площадь (S)и периметр (Р) будут вычисляться по формулам:

По условию эти величины численно равны, поэтому должно выполняться равенство, являющееся уравнением:

Естественно, сторона квадрата не может быть равна нулю, поэтому нас устраивает только ответ х = 4. Тогда и площадь, и периметр будут равны 16.

Ответ: 16 см2.

Обратите внимание, что ответ задачи зависит от единицы измерения. Если использовать миллиметры, то сторона квадрата окажется равной 40 мм, периметр будет равен 160 мм, а площадь составит 1600 мм2

Именно поэтому в условии задачи сказано, что площадь и периметр равны численно. «По-настоящему» равными бывают только величины, измеряемые в одинаковых единицах измерения.

Информация о прямоугольнике

Прямоугольник — четырехугольная геометрическая фигура, противолежащие стороны которой равны и углы являются прямыми. Частным случаем данной фигуры считается квадрат. У него все углы прямые, а также все стороны равны между собой. Для выполнения расчетов нужно знать основные соотношения, свойства и признаки.

Важным аспектом является идентификация фигуры и применение к ней формул и соотношений. В двухмерной геометрии, которую еще называют эвклидовой, можно встретить необычный признак, позволяющий определить принадлежность четырехугольника к прямоугольнику. Его формулировка следующая: достаточно хотя бы трех углов, равных 90 градусам, чтобы четырехугольник считался прямоугольником.

Утверждение легко доказывается. Это связано с тем, что по теореме о сумме внутренних углов произвольного четырехугольника, составляющей 360 градусов, четвертый угол тоже равен 90. Нужно выполнить следующие расчеты для определения градусной меры четвертого угла: D = 360 — (90 + 90 + 90) = 90. Необходимо отметить, что смежные с ними углы равны 90.

Свойства и признаки

Очень часто новички путают свойства и признаки фигуры. Однако это совсем различные понятия. Признаками фигуры называются характерные особенности, которые позволяют отнести ее к тому или иному классу. Свойства — совокупность аксиом, позволяющих использовать некоторые данные при решении или доказательстве теорем и тождеств. Прямоугольник обладает следующими признаками:

Условие параллельности и равенства противоположных сторон.
Наличие четырех прямых углов.
Равенство диагоналей.
Квадрат диагонали равен суммарному значению квадратов двух сторон, которые не противоположны.
Все стороны не равны между собой.

Очень важно уметь различать геометрические фигуры. Поскольку прямоугольник является параллелограммом, то их часто путают

Основное его отличие — это равенство всех углов 90 градусов. У параллелограмма и ромба углы будут равняться 90 в том случае, когда они являются квадратами. Последний отличается от искомой фигуры (прямоугольника) равенством всех сторон. Поскольку прямоугольник является частным случаем параллелограмма, то обладает такими же свойствами:

Углы равны между собой 90 градусов.
Противолежащие параллельные стороны равны.
Сумма всех внутренних углов составляет 360.
Диагональ, проведенная внутри прямоугольника, делит его на два равнозначных треугольника, которые являются равновеликими. Они равны по третьему признаку равенства треугольников (размерности сторон одной фигуры равны значениям сторон другой фигуры).
Треугольники, полученные при проведении двух диагоналей, равны по всем признакам (углам и сторонам).
Диагонали пересекаются между собой в точке, которая делит их на четыре равные части.
Точка пересечения диагоналей — центр симметрии.
Сумма квадратов двух диагоналей соответствует суммарному значению квадратов всех сторон фигуры.

Периметр и размерность

Нужно ввести некоторые обозначения. Пусть стороны прямоугольника АВСД обозначаются литерами a и b. Поскольку диагонали равны, то можно только обозначить размерность одной буквой «d». Периметром называется сумма всех сторон заданной фигуры. Он обозначается литерой P. Для его нахождения применяется формула такого вида: P = 2 * (a + b). Однако бывает случай, когда известна только одна его сторона и диагональ. Формула приобретает следующий вид: P = 2a + ^(1/2) и P = 2b + ^(1/2).

Чтобы вычислить площадь прямоугольника, следует воспользоваться таким соотношением: S = a * b. Эта базовая формула, которая используется также в строительной сфере и физике. Однако существует еще один способ, с помощью которого можно узнать площадь прямоугольника. Она находится с помощью формулы Герона для треугольников с площадями S1 и S2, а затем результат умножается на 2. Эта особенность основывается на свойстве фигуры, поскольку диагональ делит его на два равных треугольника.

Соотношение имеет следующий вид: S = S1 + S2 = 2S1= 2 * ^(1/2). Переменная «p» — полупериметр треугольника. Он находится таким методом: p = P / 2 = (a + b + d) / 2.

Неравенства

Область

Если выпуклый четырехугольник имеет следующие друг за другом стороны a , b , c , d и диагонали p , q , то его площадь K удовлетворяет условию

K ≤ 1 4 ( а + c ) ( б + d ) {\ Displaystyle К \ Leq {\ tfrac {1} {4}} (а + с) (б + г)} с равенством только для прямоугольника .

K ≤ 1 4 ( а 2 + б 2 + c 2 + d 2 ) {\ Displaystyle К \ leq {\ tfrac {1} {4}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2})} с равенством только для квадрата .

K ≤ 1 4 ( п 2 + q 2 ) {\ Displaystyle К \ leq {\ tfrac {1} {4}} (p ^ {2} + q ^ {2})} с равенством, только если диагонали перпендикулярны и равны.

K ≤ 1 2 ( а 2 + c 2 ) ( б 2 + d 2 ) {\ Displaystyle К \ leq {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {(a ^ {2} + c ^ {2}) (b ^ {2} + d ^ {2})}}} с равенством только для прямоугольника.

Из формулы Бретшнайдера непосредственно следует, что площадь четырехугольника удовлетворяет условию

K ≤ ( s — а ) ( s — б ) ( s — c ) ( s — d ) {\ Displaystyle К \ leq {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd)}}}

с равенством тогда и только тогда, когда четырехугольник является вписанным или вырожденным, так что одна сторона равна сумме трех других (он свернулся в отрезок прямой , поэтому площадь равна нулю).

Площадь любого четырехугольника также удовлетворяет неравенству

K ≤ 1 2 ( а б + c d ) ( а c + б d ) ( а d + б c ) 3 . {\ displaystyle \ displaystyle K \ leq {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {(ab + cd) (ac + bd) (ad + bc)}}.}.

Обозначив периметр как L , имеем

K ≤ 1 16 L 2 , {\ Displaystyle К \ leq {\ tfrac {1} {16}} L ^ {2},}

с равенством только в случае квадрата.

Площадь выпуклого четырехугольника также удовлетворяет

K ≤ 1 2 п q {\ Displaystyle К \ leq {\ tfrac {1} {2}} pq}

для диагоналей p и q с равенством тогда и только тогда, когда диагонали перпендикулярны.

Пусть a , b , c , d — длины сторон выпуклого четырехугольника ABCD площади K и диагоналей AC = p , BD = q . потом

K ≤ а 2 + б 2 + c 2 + d 2 + п 2 + q 2 + п q — а c — б d 8 {\ displaystyle K \ leq {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} + p ^ {2} + q ^ {2} + pq-ac- bd} {8}}} с равенством только для квадрата.

Пусть a , b , c , d — длины сторон выпуклого четырехугольника ABCD с площадью K , тогда выполняется неравенство

K ≤ 1 3 + 3 ( а б + а c + а d + б c + б d + c d ) — 1 2 ( 1 + 3 ) 2 ( а 2 + б 2 + c 2 + d 2 ) {\ displaystyle K \ leq {\ frac {1} {3 + {\ sqrt {3}}}} (ab + ac + ad + bc + bd + cd) — {\ frac {1} {2 (1+ { \ sqrt {3}}) ^ {2}}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2})} с равенством только для квадрата.

Диагонали и бимедианы

Следствием теоремы Эйлера о четырехугольнике является неравенство

а 2 + б 2 + c 2 + d 2 ≥ п 2 + q 2 {\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} \ geq p ^ {2} + q ^ {2}}

где равенство выполняется тогда и только тогда, когда четырехугольник является параллелограммом .

Эйлер также обобщил теорему Птолемея , которая является равенством в вписанном четырехугольнике , в неравенство для выпуклого четырехугольника. В нем говорится, что

п q ≤ а c + б d {\ displaystyle pq \ leq ac + bd}

где есть равенство тогда и только тогда, когда четырехугольник вписанный. Это часто называют неравенством Птолемея .

В любом выпуклом четырехугольнике бимедианы m, n и диагонали p, q связаны неравенством

п q ≤ м 2 + п 2 , {\ displaystyle pq \ leq m ^ {2} + n ^ {2},}

причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда диагонали равны. Это непосредственно следует из четырехугольного тождества м 2 + п 2 знак равно 1 2 ( п 2 + q 2 ) . {\ displaystyle m ^ {2} + n ^ {2} = {\ tfrac {1} {2}} (p ^ {2} + q ^ {2}).}

Стороны

Стороны a , b , c и d любого четырехугольника удовлетворяют

а 2 + б 2 + c 2 > d 2 3 {\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}> {\ frac {d ^ {2}} {3}}}

а также

а 4 + б 4 + c 4 ≥ d 4 27 . {\ displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} \ geq {\ frac {d ^ {4}} {27}}.}

Заключение

Внимательно изучив все вышеизложенное, можно сделать вывод — определение площади произвольного четырёхугольника с разными сторонами сложнее, чем у них же специальных видов – квадрата, прямоугольника, ромба, трапеции, параллелограмма. Однако внимательно изучив все приведённые методы, можно с лёгкостью решать задачи необходимые для школьников. Сведём все наши формулы в одну таблицу:

S = 1/2*d1*d2*sin(d1,d2)>;
S = rad(( p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ) − a*b*c*d*c o s^2( (a,b) + (c,d))/2), где p = 1/2*(a + b + c + d)>;
S = ((a + b+ c + d)/2)*r

S = rad((p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ), где p равно половине периметра.

Таким образом, реально сложной является только формула номер 2, но и она вполне доступна, при условии хорошего понимания данных в статье определений и соглашений.